Bonjour,
D’après ce que je peux voir sur la photo je ne vois pas de risque à la retirer après à voir si celle ci continue dans la partie gauche de la maison ou si son emprise est seulement comprise entre le vide de l’extension.
Dans le deuxième car, on peut l’enlever sans soucis (en plus le garage en dessous et la vitre au dessus rempliront parfaitement la façade donc pas le moindre risque.
Par contre si la poutre en question continue tout le long de la maison, c’est surement qu’il s’agit d’une pièce porteuse. Mieux vaut la conserver.
On peut penser à cacher celle-ci à l’aide d’un revêtement pour le côté esthétique. ou même à la peindre.
L’avis d’un artisan professionnel sera bien sûr meilleur sur ce point que mon avis (je suis amatrice de bricolage et travaux de rénovation mais pas pro).